Проектно-базиран урок • Математика • 11. клас • Условна вероятност

Колко струва рискът на пътя?

Голям въпрос: „Справедливо ли е цената на застраховката да зависи само от възрастта – или поведението на пътя казва повече?“ Влезте в ролята на управителен съвет на застрахователна компания и решете казуса с помощта на условна вероятност.

Всички числа, имена на клиенти и компанията „Алфа Сейф“ в този урок са учебно адаптирани / примерни данни, създадени единствено за целите на обучението. Те не представляват реална статистика на КАТ и не са данни на реална застрахователна компания. Разликите между възрастовите групи също са измислени за учебни цели.

80 минути (2 слети часа)

6 части на урока

P(A|B) условна вероятност

Клиент А 19 г. · група 18–24 г.

2 нарушения (скорост) · градско шофиране

Клиент Б 36 г. · група 25–44 г.

0 нарушения · смесено шофиране

Клиент В 58 г. · група 45+ г.

1 нарушение (изпреварване) · извънградско шофиране

Стъпка 1 · Част 1

Сблъсък с реални казуси

Представете си, че сте мениджъри в застрахователна компания „Алфа Сейф“ (измислена компания, учебен пример). При вас идват трима клиенти от различни възрастови групи, които искат автомобилна застраховка.

Клиент А

Възраст: 19 г. (група 18–24 г.)
Шофьорска книжка от: 1 година
Пътни нарушения: 2 бр. (скорост)
Шофиране: натоварено градско

Клиент Б

Възраст: 36 г. (група 25–44 г.)
Шофьорска книжка от: 15 години
Пътни нарушения: 0 бр. (няма)
Шофиране: смесено

Клиент В

Възраст: 58 г. (група 45+ г.)
Шофьорска книжка от: 35 години
Пътни нарушения: 1 бр. (неправилно изпреварване)
Шофиране: предимно извънградско

Без оценка · само вашата интуиция

Задача 1. Твоят първоначален избор

Направете бърз залог в екипа, без да смятате нищо. От какво трябва да зависи основно цената на застраховката на тримата клиенти?

Вариант 1: От възрастта – най-младият (Клиент А) плаща най-много, а най-възрастният (Клиент В) – най-малко. Вариант 2: От нарушенията – клиентите с нарушения (А и В) плащат повече от Клиент Б, независимо от възрастта. Вариант 3: От нищо от изброеното – тримата трябва да платят еднаква базова цена.

Запишете едно изречение защо избрахте този вариант: 0 знака

Стъпка 2 · Част 2

Изследвам учебната база данни

За да вземете справедливо бизнес решение, отваряте учебната база данни на „Алфа Сейф“ за 1000 шофьори от три възрастови групи. За всеки шофьор са отбелязани три неща: възрастова група, дали има пътни нарушения и дали е причинил ПТП през последната година.

Базата от 1000 шофьори е учебно адаптиран / примерен пример, изграден само за целите на този урок – тя не идва от реална институция или застрахователна компания. Числата по възрастови групи не са реална статистика и не показват реални зависимости между възраст и риск.

Учебна база „Алфа Сейф“: 1000 шофьори по възрастова група, нарушения и ПТП (примерни данни)
Възрастова група	С нарушения		Без нарушения		Общо за групата
Възрастова група	шофьори	от тях с ПТП	шофьори	от тях с ПТП	шофьори	от тях с ПТП
18–24 г.	100	30	150	15	250	45
25–44 г.	150	30	350	21	500	51
45+ г.	50	6	200	13	250	19
Общо	300	66	700	49	1000	115

Как се чете таблицата: всяка клетка е брой шофьори. Например в реда „25–44 г.“ под „С нарушения · шофьори“ стои 150 – толкова шофьори на 25–44 г. имат нарушения. В базата няма данни за стаж или вид шофиране – само за възрастова група, нарушения и ПТП.

Задача 2. Избор между твърдения

Погледнете реда „Общо“. Шофьорите с нарушения са причинили 66 ПТП, а тези без нарушения – 49. Защо директното сравнение на броя ПТП (66 срещу 49) е подвеждащо? Изберете верния аргумент:

А) Защото общият брой шофьори в двете групи (300 и 700) е напълно различен и сравнението е несправедливо. Б) Защото групата без нарушения е направила по-малко инциденти общо.

Стъпка 3 · Част 3

Математическо изчисляване на риска

Сега прилагаме условна вероятност, за да превърнем усещането за опасност в точно число. Този път никой не ви дава готова дроб – вие сами я съставяте от учебната база в Стъпка 2.

Условната вероятност P(A|B) изчислява шанса да се случи събитие A, ПРИ УСЛОВИЕ ЧЕ вече знаем, че е изпълнено B. Групата след чертата „|“ е условната група – гледаме само в нея:
P(A|B) = (брой случаи в B, при които е изпълнено A) / (брой всички случаи в B)

Задача 3. P(ПТП | нарушение)

Каква е вероятността случайно избран шофьор от базата да е причинил ПТП, ако знаем, че има нарушения? Работете стъпка по стъпка – следващото поле се отключва, когато предишното е вярно.

Задача 4. P(ПТП | без нарушение)

Каква е вероятността случайно избран шофьор да е причинил ПТП, ако знаем, че няма нарушения?

Задача 5. Колко пъти е по-висок рискът?

Използвайте своите резултати от задачи 3 и 4. Колко пъти P(ПТП | нарушение) е по-голяма от P(ПТП | без нарушение)?

Отношение на двете условни вероятности:

пъти

Може да въведете точното число (с два знака след запетаята) или закръглено до цяло число.

Задача 6. Обръщаме условието: P(нарушение | ПТП)

Сега въпросът е обърнат: ако знаем, че шофьор е причинил ПТП, каква е вероятността той да има нарушения? Внимание: събитието и условието са разменили местата си.

Задача 7. Защо резултатите са различни?

Сравнете резултатите от задачи 3 и 6. Изберете вярното обяснение:

А) Числителят е различен – в едната задача броим шофьорите с ПТП, а в другата – шофьорите с нарушения. Б) При обръщане на условието се сменя условната група, а с нея и знаменателят – затова се променя и резултатът. В) Двете вероятности всъщност трябва да са равни – в една от задачите има грешка.

Задача 8. Интерпретация: доказва ли числото причина?

Един член на борда казва: „P(ПТП | нарушение) е над 3 пъти по-голяма от P(ПТП | без нарушение). Значи е доказано, че нарушенията причиняват ПТП.“ Кое твърдение е най-точно?

А) Да, щом условната вероятност е над 3 пъти по-висока, причинността е доказана. Б) Данните показват зависимост между нарушенията и ПТП в учебната извадка, но сами по себе си не доказват, че нарушенията причиняват ПТП. В) Между нарушенията и ПТП няма никаква връзка, защото повечето шофьори с нарушения не са причинили ПТП.

Стъпка 4 · Част 4

Възраст, нарушения и профил на клиента

Досега сравнявахме шофьорите само по нарушения. Учебната база има и втора характеристика – възрастова група. Когато условието съдържа две характеристики едновременно, условната група се стеснява.

Напомняне: разликите между възрастовите групи в тази база са измислени за учебни цели и не описват реални рискове по възраст.

Задача 9. P(ПТП | 18–24 г.)

Каква е вероятността случайно избран шофьор да е причинил ПТП, ако знаем само, че е на 18–24 г. (без да знаем дали има нарушения)?

Задача 10. Профилен риск на трите клиента

За всеки клиент намерете условната вероятност за ПТП сред шофьорите от базата със същия профил – същата възрастова група и същия статус по нарушения. Вижте картите на клиентите в Стъпка 1.

А Клиент А (19 г., 2 нарушения)

Б Клиент Б (36 г., без нарушения)

В Клиент В (58 г., 1 нарушение)

Задача 11. Какво показва възрастта?

Сравнете резултатите от задачи 9 и 10. Кое твърдение се подкрепя от учебната извадка?

А) Възрастта сама определя риска – всеки по-възрастен шофьор има по-нисък риск от всеки по-млад. Б) В тази учебна извадка рискът се различава според възрастовата група и наличието на нарушения – например Клиент В е най-възрастен, но в извадката неговият профил има по-висока вероятност за ПТП от профила на Клиент Б. В) След 45 г. нарушенията нямат значение за риска.

Задача за пренос · нови примерни числа

Задача 12. Телефонът зад волана

В друга учебна (измислена) извадка от 800 шофьори 200 са използвали телефон по време на шофиране, а 600 – не. От използвалите телефон 34 са причинили ПТП, а от неизползвалите – 51. Застрахователят разследва ново ПТП и пита: каква е вероятността шофьорът да е използвал телефон, ако знаем, че е причинил ПТП?

Стъпка 5 · Част 5

Финален продукт: Застрахователна карта

Като управителен съвет попълнете официалния търговски документ на компанията. Определете категория риск и годишна цена за всеки клиент, базирани на профилния риск от Стъпка 4.

Цените са свободен избор – няма една-единствена вярна сума. Системата само показва ценовите съотношения между клиентите и ги сравнява с рисковите съотношения. Това не е проверка за „вярно“ или „грешно“.

Клиент А

18–24 г. · с нарушения

30% профилен риск от ПТП

Категория риск

Годишна цена (лв.)

Клиент Б

25–44 г. · без нарушения

6% профилен риск от ПТП

Категория риск

Годишна цена (лв.)

Клиент В

45+ г. · с нарушения

12% профилен риск от ПТП

Категория риск

Годишна цена (лв.)

Сравни ценовите и рисковите съотношения

Профилните рискове се отнасят като А : Б : В = 30% : 6% : 12% = 5 : 1 : 2. Проверете как се съотнасят цените, които сте определили.

Без оценка · свободен аргумент

Задача 13. Бизнес аргумент

Оправдайте цените си пред застрахователния борд: защо е пазарно справедливо тримата клиенти да плащат различно? Какво тежи повече във вашето решение – възрастта или нарушенията?

Вашият аргумент: 0 знака

Стъпка 6 · Част 6

Карта за изход

Обобщете какво научихте, преди да защитите картата си пред „застрахователния борд“ (класа).

Без оценка · свободна рефлексия

1. Личната ти рефлексия

Днес в ролята на мениджър разбрах, че математическата формула за условна вероятност служи за:

Твоят отговор: 0 знака

2. Къде другаде се среща условна вероятност?

Изберете ЕДНА сфера извън училище и автомобилите, където според вас се попълват подобни карти за риск. Всичките три варианта са реални примери – просто изберете и се аргументирайте.

А) В медицината – за изчисляване на риск от заболяване при определен ген. Б) В банките – за риск дали клиент ще си върне кредита, ако е сменил работата си. В) В спорта – за определяне на коефициенти при залози на база предишни контузии.

Обобщение на изчисленията (учебни данни)

22% P(ПТП | нарушение) = 66/300

7% P(ПТП | без нарушение) = 49/700

≈3,14× по-висок риск при нарушителите

≈57,4% P(нарушение | ПТП) = 66/115 – друг знаменател!

18% P(ПТП | 18–24 г.) = 45/250

30% · 6% · 12% профилен риск на А · Б · В

Колко струва рискът на пътя?

Сблъсък с реални казуси

Клиент А

Клиент Б

Клиент В

Задача 1. Твоят първоначален избор

Изследвам учебната база данни

Задача 2. Избор между твърдения

Математическо изчисляване на риска

Задача 3. P(ПТП | нарушение)

Задача 4. P(ПТП | без нарушение)

Задача 5. Колко пъти е по-висок рискът?

Задача 6. Обръщаме условието: P(нарушение | ПТП)

Сравнение: едни и същи данни, обърнато условие

Задача 7. Защо резултатите са различни?

Задача 8. Интерпретация: доказва ли числото причина?

Възраст, нарушения и профил на клиента

Задача 9. P(ПТП | 18–24 г.)

Задача 10. Профилен риск на трите клиента

А Клиент А (19 г., 2 нарушения)

Б Клиент Б (36 г., без нарушения)

В Клиент В (58 г., 1 нарушение)

Задача 11. Какво показва възрастта?

Задача 12. Телефонът зад волана

Финален продукт: Застрахователна карта

Клиент А

Клиент Б

Клиент В

Сравни ценовите и рисковите съотношения

Задача 13. Бизнес аргумент

Карта за изход

1. Личната ти рефлексия

2. Къде другаде се среща условна вероятност?

Обобщение на изчисленията (учебни данни)

Как да проведете урока

Преди часа

По време на часа

За финала